The Probability of Multiple Events: 다중 사건의 확률

지금까지 단일 사건의 확률을 계산하는 방법을 배웠다.

 

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하지만 현실 세계와 데이터 분석에서는 여러 개의 사건이 동시에 발생하는 경우가 많다. 데이터 전문가로서 여러 사건의 확률을 다룰 일이 많을 것이다.

 

이번 글에서는 세 가지 기본 확률 규칙, 즉 여사건 규칙(Complement Rule), 덧셈 규칙(Addition Rule), 곱셈 규칙(Multiplication Rule)을 배울 것이다. 또한 서로 배타적인 사건(Mutually Exclusive Events)과 독립적인 사건(Independent Events)의 차이를 이해하고 각각의 확률을 계산하는 방법을 알아보겠다.

 

두 가지 유형의 사건 (Two Types of Events)

세 가지 기본 확률 규칙은 서로 다른 유형의 사건에 적용된다.

• 여사건 규칙(Complement Rule)과 덧셈 규칙(Addition Rule)은 서로 배타적인 사건(Mutually Exclusive Events)에 적용된다.
• 곱셈 규칙(Multiplication Rule)은 독립적인 사건(Independent Events)에 적용된다.

 

서로 배타적인 사건 (Mutually Exclusive Events)

두 사건이 동시에 발생할 수 없으면 서로 배타적이라고 한다.

 

예를 들어:

• 한 사람은 동시에 지구와 달에 있을 수 없다.
• 한 번에 왼쪽과 오른쪽으로 동시에 돌 수 없다.
• 동전을 던지면 앞면과 뒷면이 동시에 나올 수 없다.
• 주사위를 던지면 2와 4가 동시에 나올 수 없다.

 

독립적인 사건 (Independent Events)

두 사건이 서로 영향을 미치지 않으면 독립적이라고 한다.

 

예를 들어:

• 아침에 영화를 보는 것이 오후 날씨에 영향을 주지 않는다.
• 라디오에서 음악을 듣는 것이 택배 도착 시간에 영향을 주지 않는다.
• 첫 번째 동전 던지기의 결과가 두 번째 동전 던지기의 결과에 영향을 주지 않는다.
• 첫 번째 주사위 굴리기의 결과가 두 번째 주사위 굴리기의 결과에 영향을 주지 않는다.

이제 각 규칙을 자세히 살펴보자.

 

세 가지 기본 확률 규칙 (Three Basic Rules)

여사건 규칙 (Complement Rule)

여사건 규칙은 서로 배타적인 사건에 적용된다. 여사건(Complement)이란 특정 사건이 발생하지 않는 경우를 의미한다.

 

예를 들어:

• 비가 오거나 오지 않는다.
• 팀이 우승하거나 우승하지 않는다.

어떤 사건이 발생할 확률과 발생하지 않을 확률의 합은 항상 1이다.

 

여사건 규칙 공식:

P(A') = 1 - P(A)
(A'는 A가 발생하지 않을 확률을 의미함)

 

 

예제:

• 내일 비가 올 확률이 30%(0.3)라고 가정하자.
• 비가 오지 않을 확률은 1 - 0.3 = 0.7 (70%)이다.

 

덧셈 규칙 (Addition Rule) - 서로 배타적인 사건

덧셈 규칙(Addition Rule)은 서로 배타적인 사건(Mutually Exclusive Events)에 적용된다.

 

덧셈 규칙 공식:

P(A 또는 B) = P(A) + P(B)
(단, A와 B는 서로 배타적인 사건이어야 함)

 

예제: 주사위 굴리기 (2 또는 4가 나올 확률)

• 주사위를 한 번 던질 때, 2 또는 4가 나올 확률을 구하자.
• 2가 나올 확률: 1/6
• 4가 나올 확률: 1/6
• 따라서 P(2 또는 4) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 (33%)

 

곱셈 규칙 (Multiplication Rule) - 독립적인 사건

 

곱셈 규칙(Multiplication Rule)은 독립적인 사건(Independent Events)에 적용된다.

 

곱셈 규칙 공식:

P(A 그리고 B) = P(A) × P(B)
(단, A와 B는 독립적인 사건이어야 함)

 

예제: 두 번의 동전 던지기 (첫 번째는 뒷면, 두 번째는 앞면이 나올 확률)

• 첫 번째 동전 던지기에서 뒷면이 나올 확률: 1/2
• 두 번째 동전 던지기에서 앞면이 나올 확률: 1/2
• 따라서 P(뒷면 그리고 앞면) = 1/2 × 1/2 = 1/4 (25%)

 

덧셈 규칙 vs. 곱셈 규칙 비교

규칙연산	방식적용	대상
덧셈 규칙	확률을 더함	서로 배타적인 사건
곱셈 규칙	확률을 곱함	독립적인 사건

 

예를 들어:

• 덧셈 규칙: 주사위를 던졌을 때 2 또는 4가 나올 확률 → P(2) + P(4)
• 곱셈 규칙: 두 번 동전을 던졌을 때 첫 번째는 뒷면, 두 번째는 앞면이 나올 확률 → P(뒷면) × P(앞면)

 

핵심 정리

• 여사건 규칙(Complement Rule): 특정 사건이 발생하지 않을 확률을 구할 때 사용.
• 덧셈 규칙(Addition Rule): 서로 배타적인 사건이 발생할 확률을 구할 때 사용.
• 곱셈 규칙(Multiplication Rule): 독립적인 사건이 동시에 발생할 확률을 구할 때 사용.
• 서로 배타적인 사건(Mutually Exclusive Events): 동시에 발생할 수 없는 사건.
• 독립적인 사건(Independent Events): 서로 영향을 미치지 않는 사건.

 

참고

브라운 대학교(Brown University)에서 만든 Seeing Theory라는 웹사이트인데, 확률과 통계를 시각적으로 설명하는 교육자료가 정말 잘 되어있다. 한번 차근차근 해보는걸 추천! 정말 고퀄리티이다.